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일일일제

제35회 2013년5월12일

수리 영역

가   형

수리 영역

가   형

2012	수능 (4점) 수리 가형 17번

첫째항이 [eqn: 1``]인 수열 [eqn: left{a_n right}``]에 대하여 [eqn: S_n = sum from k=1 to n a_k ``]라 할 때,
[eqn: n`S_n+1 =(n+2)S_n +(n+1)^3] [eqn: (n ge 1)``]
이 성립한다. 다음은 수열 [eqn: left{a_n right}``]의 일반항을 구하는 과정의 일부이다.

자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: S_n+1 =S_n +a_n+1 ``]이므로
[eqn: n`a_n+1 = 2`S_n + (n+1)^3] [eqn: cdots cdots] [eqn: ㉠]
이다. [eqn: 2``]이상의 자연수 [eqn: n``]에 대하여
[eqn: (n-1)`a_n =2`S_n-1 +n^3] [eqn: cdots cdots] [eqn: ㉡]
이고, [eqn: ㉠``]에서 [eqn: ㉡``]을 뺀 식으로부터
[eqn: n`a_n+1 = (n+1)`a_n +`box{`````(가)`````}]
를 얻는다. 양변을 [eqn: n(n+1)``]로 나누면
[eqn: a_n+1 over n+1 = a_n over n + {box{`````(가)`````}} over {n(n+1)}]
이다. [eqn: b_n = a_n over n ``]이라 하면,
[eqn: b_n+1 = b_n +3 +`box{`````(나)`````}````````(n ge 2)``]
이므로 [eqn: b_n = b_2 +`box{`````(다)`````}````````(n ge 3)``]이다.
[eqn: vdots]

위의 (가), (나), (다)에 들어갈 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)], [eqn: h(n)``]이라 할 때, [eqn: {f(3)} over {g(3)`h(6)}`]의 값은?

정답 ②

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: S_n+1 = S_n + a_n+1]이므로
[eqn: nS_n+1 = (n+2)S_n + (n+1)^3]에서
[eqn: n(S_n +a_n+1 )=nS_n + 2S_n +(n+1)^3]
[eqn: therefore``` na_n+1 =2S_n +(n+1)^3] ([eqn: n ge 2]) [eqn: cdotscdots``㉠]

이다. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 ㉠의 식에 [eqn: n] 대신 [eqn: n-1]을 대입하면

[eqn: (n-1)a_n = 2S_n-1 + n^3 ~cdotscdots``㉡]

이고, ㉠에서 ㉡을 뺀 식으로부터

[eqn: na_n+1 -(n-1)a_n &= 2(S_n - S_n-1 )+(n+1)^3 -n^3 #&2a_n + 3n^2 +3n +1]

[eqn: therefore```na_n+1 =(n+1 ) a_n + box{``3n^2 +3n +1``}] (가)

를 얻는다. 양변을 [eqn: n(n+1)]로 나누면

[eqn: a_n+1 over n+1 = a_n over n + {box{``3n^2 + 3n+1``}} over {n(n+1)} = a_n over n +3 + 1over n(n+1)]
이다. [eqn: b_n = a_n over n ``]이라 하면,
[eqn: b_n+1 = b_n +3 +`box{``1over n(n+1)``}] (나) [eqn: (n ge 2)]
이므로 [eqn: b_n = b_2 + sum_k=2^n-1 left( 3+ 1over k - 1over k+1 right)]
[eqn: = b_2 + box{`` 3(n-2) + 1over2 - 1over n`` }] (다) [eqn: (n ge 3)]

이다.

[eqn: therefore ```f(n) = 3n^2 + 3n +1], [eqn: g(n)= 1over n(n+1)], [eqn: h(n) = 3n - 11over2 - 1over n]이므로

[eqn: f(3) over g(3)h(6) = 37 over { 1over 12 times left( 18 - 11over2 - 1over6 right)}= 37over{ 1over12 times 74 over6 } = 37 over {2times37 over 72 } = 36]

① [eqn: 30]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 42]	④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 54]

2.  (최신기출1200 Actual Test 2-18)

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a copy of ~한 부